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Introducción¶

Imagina que gestionas una plataforma de e-commerce y quieres ordenar tu catálogo de productos en base a la calidad percibida por los usuarios. Para ello dispones de un sistema de reseñas donde los clientes pueden valorar cada producto como "positivo" o "negativo". Una primera aproximación para ordenar los productos es calcular el porcentaje de reseñas positivas ($k/N$) y ordenarlos de mayor a menor. Sin embargo, este método tiene un gran problema: no tiene en cuenta la confianza estadística que da el tamaño de la muestra (número de reseñas).

Para ilustrar este problema, imagina que tienes los siguientes tres productos con sus respectivas reseñas:

El porcentaje de reseñas positivas (porcentaje simple) sitúa a los auriculares con una sola reseña por delante de un portátil con 95 reseñas positivas de 100. Intuitivamente sabemos que el portátil es mejor producto, pero el porcentaje simple ignora por completo la confianza estadística que da el tamaño de la muestra.

Este es un problema clásico en estadística conocido como el problema de la estimación de proporciones con muestras pequeñas, y aparece en multitud de sistemas reales:

• Ordenar los post de un foro o red social por su número de "likes" o "upvotes".
• Ordenar los restaurantes de una ciudad por su número de reseñas positivas.
• Ordenar los jugadores de un deporte por su porcentaje de aciertos (canastas, saques, penaltis, etc.).

En este documento se estudian y comparan estos cuatro enfoques estadísticos:

• Promedio Bayesiano (Empirical Bayes): Asume que todo producto es "promedio" hasta que demuestre lo contrario con suficientes reseñas.

• Modelo Beta-Binomial: La base teórica del promedio bayesiano, que además permite calcular intervalos de credibilidad al 95%.

• Límite Inferior del Intervalo de Wilson: Clasifica por el peor rendimiento razonable de cada producto, no por su media.

• Umbral Mínimo + Porcentaje Simple: Excluye del ranking a los productos con menos de $N_{min}$ reseñas.

Librerías¶

Las librerías utilizadas en este documento son:

# Tratamiento de datos
# ==============================================================================
import numpy as np
import pandas as pd

# Estadística
# ==============================================================================
from scipy.stats import norm, beta

Fundamentos estadísticos¶

El problema de las proporciones simples¶

Cuando un cliente deja una reseña positiva o negativa, estamos ante un ensayo de Bernoulli: el resultado es binario (positiva = 1, negativa = 0) con una probabilidad desconocida $p$ de ser positiva. El número total de reseñas positivas $k$ de entre $N$ reseñas totales sigue una distribución Binomial:

La estimación más natural de $p$ es el estimador de máxima verosimilitud:

Este estimador es insesgado y consistente, pero presenta un problema crítico cuando $N$ es pequeño: su varianza es muy alta.

Con $N=1$, la varianza es máxima. El estimador toma solo los valores 0 o 1, sin ninguna capacidad discriminativa.

Promedio Bayesiano (Empirical Bayes)¶

La solución del Bayes Empírico parte de una idea intuitiva: todo producto nuevo es, en principio, tan bueno como el promedio del catálogo, hasta que sus reseñas demuestren lo contrario. La fórmula añade a cada producto unos pseudoconteos basados en la media global:

Donde los parámetros son:

¿Por qué funciona? Si un producto tiene pocas reseñas ($N \ll C$), el término $C \cdot \mu$ domina y lo acerca a la media global. Si el producto tiene muchísimas reseñas ($N \gg C$), la constante $C$ pierde peso y su porcentaje real $k/N$ es el que manda.

Conexión con el modelo Beta-Binomial¶

La fórmula del Promedio Bayesiano no es arbitraria: es exactamente la media de la distribución posterior de un modelo bayesiano con prior Beta y verosimilitud Binomial.

Si asumimos un prior $p \sim \text{Beta}(\alpha_0, \beta_0)$ con:

Tras observar $k$ reseñas positivas de $N$ totales, la distribución posterior es:

La media de esta distribución posterior es exactamente:

Que es la fórmula del Promedio Bayesiano. La ventaja adicional de conocer la distribución posterior completa es que permite calcular intervalos de credibilidad al 95% de forma analítica con scipy.stats.beta.ppf, sin necesidad de simulación.

Límite inferior del Intervalo de Wilson¶

El Intervalo de Wilson es un intervalo de confianza para proporciones que, a diferencia del intervalo normal clásico, tiene buen comportamiento incluso con $N$ pequeño. En lugar de usar la estimación puntual $k/N$, el sistema se pregunta: ¿cuál es el porcentaje de reseñas positivas más bajo que razonablemente podría tener este producto?

El límite inferior del intervalo de Wilson al nivel de confianza $1-\alpha$ es:

Donde $\hat{p} = k/N$ y $z = z_{1-\alpha/2}$ es el percentil de la distribución normal estándar (por ejemplo, $z = 1.96$ para un nivel de confianza del 95%).

Ejemplo intuitivo:

• Auriculares (1/1, 100%): mucha incertidumbre → su límite inferior es aproximadamente 20%.
• Portátil gaming (95/100, 95%): poca incertidumbre → su límite inferior es aproximadamente 88%.

Umbral mínimo + porcentaje simple¶

La aproximación más sencilla consiste en:

1. Definir un umbral $N_{min}$ (por ejemplo, 10 reseñas).
2. Excluir del ranking a todos los productos con $N < N_{min}$. Se muestran como "sin suficientes reseñas".
3. Para los productos que superan el umbral, ordenar por $\hat{p}_{simple} = k/N$.

Este enfoque es fácil de implementar y de comunicar a los usuarios, pero tiene una desventaja importante: El umbral mínimo excluye por completo del ranking a productos nuevos aunque tengan una señal temprana muy positiva. Un producto lanzado ayer con 9 reseñas perfectas no aparecerá en ningún ranking, mientras que uno con 10 reseñas mediocres sí. Los métodos bayesiano y de Wilson evitan este problema mostrando a todos los productos, pero con una estimación conservadora para los que tienen pocas reseñas.

Ejemplo¶

Datos¶

Se crea un catálogo con 8 productos para ilustrar el comportamiento de cada método.

# Datos
# ==============================================================================
datos = {
    'producto': [
        'Auriculares bluetooth',   # 1/1: nuevo perfecto,
        'Portátil gaming',         # 95/100: veterano excelente
        'Funda de móvil',          # 200/400: mediocre con mucho historial
        'Novela bestseller',       # 4/5: pocas pero muy buenas
        'Teclado mecánico',        # 2/5: pocas reseñas mixtas
        'Silla de oficina',        # 8/9: justo por debajo del umbral de 10 reseñas
        'Zapatillas running',      # 45/60: buenas con historial medio
        'Batería externa',         # 12/20: mediocre con historial suficiente
    ],
    'categoria': [
        'Electrónica', 'Electrónica', 'Accesorios', 'Libros',
        'Electrónica', 'Mobiliario', 'Moda', 'Electrónica',
    ],
    'resenas_positivas': [1, 95, 200, 4, 2, 8, 45, 12],
    'total_resenas':     [1, 100, 400, 5, 5, 9, 60, 20],
}

datos = pd.DataFrame(datos)
datos

Porcentaje simple¶

# Porcentaje simple
# ==============================================================================
datos['pct_simple'] = datos['resenas_positivas'] / datos['total_resenas']

ranking_simple = (
    datos[['producto', 'resenas_positivas', 'total_resenas', 'pct_simple']]
    .sort_values('pct_simple', ascending=False)
    .reset_index(drop=True)
)
ranking_simple

Con el porcentaje simple, los auriculares (1/1) ocupan el primer puesto con un 100%, por delante del portátil gaming (95/100). La silla de oficina (8/9, ~89%) también aparece en posiciones altas a pesar de tener muy pocas reseñas.

Promedio Bayesiano¶

El primer paso es calcular los parámetros globales del catálogo:

• $\mu$: el porcentaje de reseñas positivas promedio de todo el catálogo.

• $C$: la constante de confianza, que se elige como la media del número de reseñas por producto.

# Parámetros globales del catálogo
# ==============================================================================
mu = datos['resenas_positivas'].sum() / datos['total_resenas'].sum()
C = datos['total_resenas'].mean()
print(f'Promedio global (mu): {mu}')
print(f'Constante de confianza (C): {C}')

Promedio global (mu): 0.6116666666666667
Constante de confianza (C): 75.0

El siguiente paso es aplicar la fórmula del Promedio Bayesiano a cada producto.

# Promedio Bayesiano
# ==============================================================================
k = datos['resenas_positivas']
N = datos['total_resenas']

datos['pct_bayesiano'] = (k + C * mu) / (N + C)

ranking_bayesiano = (
    datos[['producto', 'resenas_positivas', 'total_resenas', 'pct_simple', 'pct_bayesiano']]
    .sort_values('pct_bayesiano', ascending=False)
    .reset_index(drop=True)
)
ranking_bayesiano

El Promedio Bayesiano corrige el problema: el portátil gaming sube al primer puesto. Los auriculares bajan porque su único acierto se mezcla con los pseudoconteos del prior (reseñas virtuales basadas en la media global). La funda de móvil, a pesar de tener 400 reseñas, queda en las últimas posiciones porque su 50% real no mejora con la corrección bayesiana.

Modelo Beta-Binomial: intervalo de credibilidad al 95%¶

El modelo Beta-Binomial nos permite calcular intervalos de credibilidad al 95% para cada producto. Ordenamos el ranking por la media del posterior (que coincide con el Promedio Bayesiano), pero mostramos también el intervalo completo.

# Parámetros del prior Beta
# ==============================================================================
alpha_0 = C * mu
beta_0 = C * (1 - mu)

# Parámetros de la distribución posterior por producto
# ==============================================================================
alpha_post = alpha_0 + k
beta_post = beta_0 + (N - k)

# Intervalo de credibilidad al 95%
# ==============================================================================
datos['cred_95_inf'] = beta.ppf(0.025, alpha_post, beta_post)
datos['cred_95_sup'] = beta.ppf(0.975, alpha_post, beta_post)

cols_beta = ['producto', 'total_resenas', 'pct_simple', 'pct_bayesiano', 'cred_95_inf', 'cred_95_sup']
(
    datos[cols_beta]
    .sort_values('pct_bayesiano', ascending=False)
    .reset_index(drop=True)
)

El intervalo de credibilidad revela la incertidumbre real de cada estimación:

• Auriculares bluetooth (1 reseña): el intervalo va de ~51% a ~72%. Es el más amplio de todo el catálogo porque, con solo 1 reseña, la información real es mínima y el prior domina la estimación.
• Portátil gaming (100 reseñas): el intervalo es estrecho (~74% a ~86%). Con 100 reseñas, el prior tiene poco peso y el sistema confía en sus datos reales.
• Funda de móvil (400 reseñas): el intervalo es el más estrecho de todos (~47% a ~56%). El sistema sabe con alta precisión que es un producto mediocre y no hay duda al respecto.

Límite inferior del Intervalo de Wilson¶

El límite inferior del intervalo de Wilson ordena por el peor rendimiento razonable de cada producto.

# Límite inferior del Intervalo de Wilson
# ==============================================================================
confianza = 0.95  # nivel de confianza
z = norm.ppf(1 - (1 - confianza) / 2)  # z = 1.96 para 95%

p_hat = datos['pct_simple']

datos['wilson_lower'] = (
    (p_hat + z**2 / (2 * N) - z * np.sqrt(p_hat * (1 - p_hat) / N + z**2 / (4 * N**2)))
    / (1 + z**2 / N)
)

ranking_wilson = (
    datos[['producto', 'resenas_positivas', 'total_resenas', 'pct_simple', 'wilson_lower']]
    .sort_values('wilson_lower', ascending=False)
    .reset_index(drop=True)
)
ranking_wilson

El Intervalo de Wilson es el método más conservador. Penaliza fuertemente la incertidumbre: los auriculares (1/1) caen casi al final del ranking porque su límite inferior es muy bajo (~21%). La silla de oficina (8/9) también baja notablemente a pesar de su alto porcentaje simple.

Umbral mínimo¶

El método del umbral mínimo excluye a los productos con menos de 10 reseñas.

# Umbral mínimo de reseñas
# ==============================================================================
N_min = 10
print(f'Productos con N >= {N_min} reseñas (incluidos en el ranking):')
ranking_umbral = (
    datos.loc[datos['total_resenas'] >= N_min, ['producto', 'resenas_positivas', 'total_resenas', 'pct_simple']]
    .sort_values('pct_simple', ascending=False)
    .reset_index(drop=True)
)
display(ranking_umbral)

print(f'\nProductos excluidos del ranking (N < {N_min}):')
excluidos = datos.loc[datos['total_resenas'] < N_min, ['producto', 'resenas_positivas', 'total_resenas']]
excluidos

Productos con N >= 10 reseñas (incluidos en el ranking):

Productos excluidos del ranking (N < 10):

Con $N_{min} = 10$, quedan excluidos del ranking los auriculares, la novela bestseller, el teclado mecánico y la silla de oficina. Esta última, que tiene un 89% de reseñas positivas con 9 reseñas, no aparece en el ranking a pesar de ser el segundo producto con mejor porcentaje simple.

Conclusiones¶

Los métodos estudiados resuelven de formas distintas el mismo problema fundamental: la inestabilidad del porcentaje simple con muestras pequeñas.

Recomendación según caso de uso:

• Usa el Promedio Bayesiano si quieres un ranking unificado y justo donde todos los productos (nuevos y veteranos) aparezcan desde el primer día sin penalizar demasiado a nadie. Es el estándar en plataformas de e-commerce.
• Añade el intervalo de credibilidad Beta-Binomial si necesitas comunicar al usuario la incertidumbre de cada estimación (por ejemplo, mostrar una barra de confianza junto a las estrellas).
• Usa el Intervalo de Wilson si el contexto es muy competitivo y quieres ser estricto, como en rankings de comentarios o reseñas de apps, donde los primeros resultados tienen un impacto enorme.
• Usa el umbral mínimo solo si la simplicidad de implementación es un requisito y la exclusión temporal de productos nuevos es aceptable para tu negocio.

Información de sesión¶

import session_info
session_info.show(html=False)

-----
numpy               1.26.4
pandas              2.2.3
scipy               1.11.4
session_info        v1.0.1
-----
IPython             9.10.1
jupyter_client      8.8.0
jupyter_core        5.9.1
-----
Python 3.11.15 (main, Mar 11 2026, 17:20:07) [GCC 14.3.0]
Linux-6.17.0-29-generic-x86_64-with-glibc2.39
-----
Session information updated at 2026-05-31 22:30

Instrucciones para citar¶

¿Cómo citar este documento?

Si utilizas este documento o alguna parte de él, te agradecemos que lo cites. ¡Muchas gracias!

Ranking estadístico de productos: Bayes Empírico, Intervalo de Wilson y Umbral Mínimo por Joaquín Amat Rodrigo, disponible bajo una licencia Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0 DEED) en https://www.cienciadedatos.net/documentos/pystats13-ranking-estadistico-python.html

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