Condiciones para aplicar el TLC a una distribución binomial

Las condiciones para poder aplicar el teorema del límite central a una distribución binomial son:

• Independencia: las observaciones deben de ser independientes unas de otras. Para ello, las observaciones de la muestra tienen que haber sido seleccionadas al azar y el tamaño muestral tiene que ser menor al 10% de la población.

• Tamaño mínimo de la muestra:

  • Para intervalos de confianza: La muestra debe de contener al menos 10 observaciones verdaderas y 10 observaciones falsas.

  • Para test de hipótesis: El tamaño de la muestra debe ser tal que, el número de eventos verdaderos y el número de eventos falsos esperados acorde a la hipótesis nula sea mayor de 10 en ambos casos. np0>10 & n(1−p0)>10.

  • A esto se le conoce como “success-failure condition”. Si no se cumple esta condición la aproximación a la distribución normal no es buena y por lo tanto tampoco los resultados de la inferencia. En los siguientes gráficos se muestra el resultado de simular 500 muestras de tamaños 10, 30 y 100 observaciones todas ellas con una proporción de eventos verdaderos p=0.7. Se observa que a medida que aumenta el tamaño muestral, la distribución se aproxima más a una normal centrada en el valor p.

set.seed(12345)
par(mfrow = c(1, 3))
# Genera 4 líneas de espacio en el margen superior de la imagen
par(oma = c(0, 0, 4, 0)) 
barplot(table(rbinom(500, 10, 0.7)/10), space = 0.4, main = "n=10", 
        ylab = "número simulaciones", xlab = "p-muestral")
barplot(table(rbinom(500, 30, 0.7)/30), space = 0.4, main = "n=30", 
        ylab = "número simulaciones", xlab = "p-muestral")
barplot(table(rbinom(500, 100, 0.7)/100), space = 0.4, main = "n=100", 
        ylab = "número simulaciones", xlab = "p-muestral")
mtext(text = "500 simulaciones con diferente tamaño muestral",
      outer = TRUE,  cex = 1)

par(mfrow = c(1, 1))

La razón por la que la aproximación de una binomial a una normal solo se puede considerar valida cuando el valor p es próximo a 0.5 se debe a que una distribución normal es simétrica con colas asintóticas. Sin embargo, los valores de una proporción están acotados entre 0 y 1. Si el valor p se aproxima mucho a uno de los extremos, la distribución obtenida va a ser asimétrica, puesto que se cortará en uno de los extremos. Véase en las siguientes simulaciones como se vuelve asimétrica la distribución cuando los valores de p se aproximan a 0 o a 1.

par(mfrow = c(1, 3))
# Genera 4 líneas de espacio en el margen superior de la imagen
par(oma = c(0, 0, 4, 0))
barplot(table(rbinom(500, 50, 0.05)/50), space = 0.4, main = "p=0.05",
        ylab = "número simulaciones", xlab = "p-muestral")
barplot(table(rbinom(500, 50, 0.5)/50), space = 0.4, main = "p=0.5",
        ylab = "número simulaciones", xlab = "p-muestral")
barplot(table(rbinom(500, 50, 0.95)/50), space = 0.4, main = "p=0.95",
        ylab = "número simulaciones", xlab = "p-muestral")
mtext(text = "500 simulaciones binomiales para distintos p",  outer = TRUE,
      cex = 1)

par(mfrow = c(1, 1))

Ejemplo

Se pretende estimar el resultado de un referéndum a partir de una muestra de la población. La encuesta realizada sobre un total de 100 personas seleccionadas de forma aleatoria ha resultado en 35 personas a favor de la propuesta y 65 en contra (se considera que no existen indecisos para poder tratar a la variable como dicotómica) ¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para el resultado de la votación?

Se trata de un conjunto de eventos cuyo resultado puede ser considerado como verdadero o falso. Son por lo tanto variables de Bernoulli cuyo conjunto sigue una distribución binomial. Sí se cumplen las condiciones, esta distribución puede ser aproximada a una Normal permitiendo realizar inferencia basada en el TLC.

Condiciones para la aproximación de una binomial a una normal:

• Independencia: los individuos se ha seleccionado de forma aleatoria y el tamaño de la muestra (n=100) es menor que el 10% de la población.

• Tamaño mínimo: se ha de cumplir que la muestra contenga al menos 10 eventos verdaderos y 10 eventos falsos:

  • verdadero = 35 >10
  • falso = 65 >10

Se cumplen las condiciones para aplicar el TLC

El valor muestral de la proporción (estadístico) ha resultado ser ˆp=35100=0.35

El error estándar (SE) de una proporción:

SE=√ˆqˆpn=√0.35∗0.65100=0.04769696

Z-value para el nivel de significancia α del intervalo:

α=0.05

Intervalo de confianza:

p=[0.35±1.96∗0.04769696]=[0.35±0.09348604]=[0.257,0.443]

Con la muestra disponible se tiene un error de 9.3 puntos para un nivel de confianza del 95%.

Solución con R

La función prop.test() que permite hacer test de hipótesis con proporciones para una o dos poblaciones. Además devuelve el intervalo de confianza para el verdadero valor de la proporción o para la diferencia de proporciones. Implementa la posibilidad de incluir la corrección de continuidad de Yates si el tamaño muestral es pequeño.

prop.test(x = 35, n = 100, conf.level = 0.95, correct = FALSE)

## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  35 out of 100, null probability 0.5
## X-squared = 9, df = 1, p-value = 0.0027
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.2636425 0.4474556
## sample estimates:
##    p 
## 0.35

prop.test(x = 35, n = 100, conf.level = 0.95, correct = TRUE)

## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  35 out of 100, null probability 0.5
## X-squared = 8.41, df = 1, p-value = 0.003732
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.2591235 0.4525560
## sample estimates:
##    p 
## 0.35

Ejemplo 1

Una encuesta realizada en España concluye que el 60% de los 1983 españoles entrevistados, elegidos de forma aleatoria, aceptaban la teoría de la evolución. ¿Se puede afirmar, en base a los resultados, que la mayoría de españoles aceptan la evolución con un nivel de significancia del 5%?

1.Hipótesis

H0: No hay ni mayoría ni minoría (50% de cada tendencia), p0=0.5.

Ha: Existe una mayoría que acepta la evolución, es decir, más de la mitad lo hace. p0>0.5.

2.Estadístico

Se emplea como estimador insesgado de la proporción poblacional (p) la proporción observada en la muestra (ˆp).

3.Condiciones para la aproximación de una binomial a una normal

• Independencia: los individuos se han seleccionado de forma aleatoria y el tamaño de la muestra es menor que el 10% de la población.

• Tamaño mínimo: se ha de cumplir que la muestra contenga al menos 10 eventos verdaderos y 10 eventos falsos acorde con la hipótesis nula:

  • verdadero = 0.5*1983 = 991.5
  • falso = 0.5*1983 = 991.5

El valor p considerado en la hipótesis nula no es próximo a 0 ni a 1. Se cumplen las condiciones para aplicar el TCL.

4.Límite de significancia

α=0.05

5.Cálculo de p-value

Calculo del valor Z observado

Zcalculado=0.6−0.5√0.5∗0.51983=8.92

p−value=

6.Conclusión

Dado que el p-value obtenido es menor que el valor de significancia alpha, se rechaza la hipótesis nula en favor de la hipótesis alternativa. Sí hay evidencias significativas para considerar que la mayoría de la población acepta la evolución.

##Solución con R

prop.test(x = 0.6*1983, n = 1983, p = 0.5, alternative = "greater",
          conf.level = 0.95, correct = FALSE)

## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  0.6 * 1983 out of 1983, null probability 0.5
## X-squared = 79.32, df = 1, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.58178 1.00000
## sample estimates:
##   p 
## 0.6

Ejemplo 2

Se cree que una determinada enfermedad tiene más prevalencia en hombres que en mujeres. Para determinar si es cierto se elige una muestra aleatoria de 100 enfermos y se observa que de ellos 70 son hombres. ¿Qué se puede concluir con un nivel de significancia del 5%?

Considérese p como la proporción de hombres que existen en la población de enfermos. Se quieren encontrar evidencias a favor de la hipótesis de que p>0.5 (hipótesis alternativa), partiendo de la hipótesis nula de que la enfermedad se reparte de forma igual entre ambos sexos. Ho:p=0.5

Dado que se cumplen las condiciones para aproximar la distribución binomial a una normal, se puede realizar un contraste de hipótesis para una proporción.

prop.test(x = 70, n = 100, p = 0.5, alternative = "greater", conf.level = 0.95,
          correct = FALSE)

## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  70 out of 100, null probability 0.5
## X-squared = 16, df = 1, p-value = 3.167e-05
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.6201679 1.0000000
## sample estimates:
##   p 
## 0.7

Ejemplo

Un equipo de investigación quiere hacer una estimación del resultado de una votación en la que las posibilidades son SÍ/NO. En el diseño epxerimental quieren determinar el número de personas a las que se tiene que consultar para lograr crear un intervalo de confianza del 97% de seguridad con un margen de error de 1 punto (0.01%).

n≥ˆpˆqZ21−α/2margen de error2

Dado que se desconoce cuál es la proporción de votantes que están a favor (SI), se debe tomar como estimación la situación más neutral p=0.5.

Nivel de significancia:

α=1−0.97=0.03

El valor de Z1−α/2: qnorm(p = 0.985, mean = 0,sd = 1,lower.tail = TRUE) = 2.17009

n≥0.5∗0.52.1720.012=11772.25

El tamaño mínimo debe ser de 11773 personas

Ejemplo 1

Una encuesta sobre el derecho a portar armas realizada en USA y en UE mostró los siguientes resultados. De los 1028 americanos encuestados 257 estaban en contra y de los 83 europeos entrevistados 59 lo estaban. En ambos casos se seleccionaron individuos aleatoriamente. ¿Cuál es la diferencia entre la proporción de americanos y europeos que rechazan la tenencia de armas? Utilizar un intervalo del 95%.

1.Condiciones para el TCL

Independencia:

• Dentro de cada muestra: Muestreo aleatorio, n1 < 10% población1 y n2 < 10% población2.

• Entre grupos/muestras: los datos no son pareados.

Tamaño muestral:

• muestra USA:
  • observaciones positivas = 257 > 10
  • observaciones negativas = 771 > 10
  • muestra UE:
    • observaciones positivas = 59 > 10
    • observaciones negativas = 24 > 10

Se cumplen las condiciones para aproximar ambas distribuciones binomiales a distribuciones normales.

2.Estadístico

(pEU−pUSA)=0.71−0.25=0.46

3.Cálculo del SE para la diferencia de dos proporciones

SE=√0.25(1−0.25)1028+0.71(1−0.71)83=0.0516

4.Cálculo de Z para una confianza del 95%

Z1−α/2=qnorm(p=0.975,mean=0,sd=1)=1.96

5.Intervalo

[0.46±1.96+0.516]=[0.36,0.56]

Se puede afirmar con una seguridad del 95% que existe entre un 36% y un 56% más de oposición a la tenencia de armas en la población europea que en la americana.

Dado que el intervalo no incluye el valor 0, sabemos que la diferencia sí es significativa para un 95% de confianza. Sin embargo para estudiar significancia es mejor calcular el p-value mediante un test de hipótesis.

Solución con R

prop.test(x = c(257, 59), n = c(1028, 83), conf.level = 0.95,
          alternative = "two.sided", correct = FALSE)

## 
##  2-sample test for equality of proportions without continuity
##  correction
## 
## data:  c(257, 59) out of c(1028, 83)
## X-squared = 80.138, df = 1, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
##  -0.5619068 -0.3597799
## sample estimates:
##    prop 1    prop 2 
## 0.2500000 0.7108434

Ejemplo 2

Se cree que la osteoporosis está relacionada con el sexo. Para estudiarlo se elige una muestra aleatoria de 100 hombres de más de 50 años y una muestra de 200 mujeres en las mismas condiciones. Se observan 10 hombres y 40 mujeres con algún grado de osteoporosis. ¿Qué podemos concluir con una confianza del 95%?

Las condiciones para aplicar el TLC a proporciones se cumple, aunque en el caso de los hombres, el número de observaciones positivas está en el mínimo recomendado.

prop.test(x = c(10, 40), n = c(100, 200),  alternative = "two.sided",
          correct = FALSE)

## 
##  2-sample test for equality of proportions without continuity
##  correction
## 
## data:  c(10, 40) out of c(100, 200)
## X-squared = 4.8, df = 1, p-value = 0.02846
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
##  -0.18081139 -0.01918861
## sample estimates:
## prop 1 prop 2 
##    0.1    0.2

Se tiene una confianza del 95% al afirmar que la osteoporosis incide entre un 1.9% y un 18% menos en hombres que en mujeres.

Ejemplo

Se realiza una encuesta sobre el acoso escolar preguntando a padres y madres sobre sus hijos. Los padres y madres se eligieron aleatoriamente y no están pareados. A la vista de los resultados ¿Existe una diferencia significativa, alpha = 5%, entre la opinión de padres y madres sobre sus hijos?

1.Hipótesis

H0: No hay diferencia, ppadres−pmadres=0

Ha: Sí hay diferencia, ppadres−pmadres≠0 , test de dos colas

2.Estadístico

ˆppadres−ˆpmadres=34/86−61/122=−0.1047

3.Condiciones para el TLC

Independencia:

• Dentro de cada muestra: Muestreo aleatorio, n1 < 10% población y n2 < 10% población.
• Entre grupos/muestras: los datos no son pareados.
• Tamaño muestral:
  • 122 x 0.5 >= 10 & 122 x (1-0.5) >= 10
  • 86 x 0.5 >= 10 & 90 x (1-0.0.5) >= 10

4.Límite de significancia

α=0.05

5.Cálculo de p-value empleando pooled ˆp

Si se cumplen las condiciones para el TLC (ˆp1−ˆp2)∼N(μ=null value,SE=√ˆppool(1−ˆppool)n1+ˆppool(1−ˆppool)n2

6.Conclusión

p-value > alpha, no hay evidencias de que las proporciones entre padres y madres difieran de forma significativa para un nivel de significancia del 5%.

##Solución con R

La función prop.test() permite comparar si las proporciones de una variable cualitativa con dos niveles son igual entre dos poblaciones, así como generar el intervalo de confianza para la diferencia. Los argumentos se pueden pasar en forma de vectores dando el número de eventos verdaderos y el tamaño de las muestras o en modo tabla dando el número de positivos y el número de negativos

prop.test(x = c(61, 34), n = c(122, 86), alternative = "two.side",
          conf.level = 0.95,  correct = FALSE)

## 
##  2-sample test for equality of proportions without continuity
##  correction
## 
## data:  c(61, 34) out of c(122, 86)
## X-squared = 2.2264, df = 1, p-value = 0.1357
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
##  -0.03154603  0.24084835
## sample estimates:
##    prop 1    prop 2 
## 0.5000000 0.3953488

fila1 <- c(61, 61)
fila2 <- c(34, 52)
tabla <- as.table(rbind(fila1, fila2))
dimnames(tabla) = list(Encuestado = c("Padre", "Madre"),
                       Resultados = c("SI", "NO"))
tabla

##           Resultados
## Encuestado SI NO
##      Padre 61 61
##      Madre 34 52

prop.test(x = tabla, alternative = "two.sided", conf.level = 0.95,
          correct = FALSE)

## 
##  2-sample test for equality of proportions without continuity
##  correction
## 
## data:  tabla
## X-squared = 2.2264, df = 1, p-value = 0.1357
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
##  -0.03154603  0.24084835
## sample estimates:
##    prop 1    prop 2 
## 0.5000000 0.3953488