Introducción

Una de las opciones cuando se quiere comparar una variable continua entre dos grupos consiste en comparar los resultados promedio obtenidos para cada uno. El hecho de que los valores promedio de cada grupo no sean iguales no implica que haya evidencias de una diferencia significativa. Dado que cada grupo tiene su propia variabilidad, aunque el tratamiento no sea eficaz, las medias muestrales no tienen por qué ser exactas.

Para estudiar si la diferencia observada entre las medias de dos grupos es significativa, se puede recurrir a métodos paramétricos como el basado en Z-scores o en la distribución T-student. En ambos casos, se pueden calcular tanto intervalos de confianza para saber entre que valores se encuentra la diferencia real de las medias poblacionales o test de hipótesis para determinar si la diferencia es significativa.

La distribución T-student se asemeja en gran medida a la distribución normal. Tiene como parámetros la media, la varianza y además incorpora a través de los grados de libertad una modificación que permite flexibilizar las colas en función del tamaño que tenga la muestra. A medida que se reduce el tamaño muestral, la probabilidad acumulada en las colas aumenta, siendo así menos estricta de lo cabría esperar en una distribución normal. Una distribución T-student con 30 o más grados de libertad es prácticamente igual a una distribución normal.

El número de grados de libertad de la distribución T-student se calcula:

• Para estudiar una sola muestra: df=tamaño muestra−1

• Cuando se comparan dos muestras: existen varios métodos, uno de los utilizados es emplear los grados de libertad de la muestra de menor tamaño minimo((n1−1),(n2−1)). En los programas informáticos se emplean métodos para ajustar de forma más precisa los grados de libertad.

Condiciones de un t-test para muestras independientes

Las condiciones para calcular intervalos de confianza o aplicar un test de hipótesis basados en la distribución T-student son las mismas que para el teorema del límite central.

• Independencia: Las observaciones tienen que ser independientes unas de las otras. Para ello el muestreo debe ser aleatorio y el tamaño de la muestra inferior al 10% de la población.

• Normalidad: Las poblaciones que se comparan tienen que distribuirse de forma normal. A pesar de que la condición de normalidad recae sobre las poblaciones, normalmente no se dispone de información sobre ellas por lo que las muestras (dado que son reflejo de la población) tiene que distribuirse de forma aproximadamente normal. En caso de cierta asimetría los t-test son considerablemente robustos cuando el tamaño de las muestras es mayor o igual a 30.

• Igualdad de varianza (homocedasticidad): la varianza de ambas poblaciones comparadas debe de ser igual. Tal como ocurre con la condición de normalidad, si no se dispone de información de las poblaciones, esta condición se ha de asumir a partir de las muestras. En caso de no cumplirse esta condición se puede emplear un Welch Two Sample t-test. Esta corrección se incorpora a través de los grados de libertad permitiendo compensar la diferencia de varianzas pero con el inconveniente de que pierde precisión. El número de grados de libertad de un Welch Two Sample t-test viene dado por la siguiente función:

f=(ˆS21n1+ˆS22n2)21n1+1(ˆS21n1)2+1n2+1(ˆS22n2)2−2

Si las condiciones se cumplen se puede considerar que el parámetro estimado, en este caso la diferencia de medias muestrales (¯X1−¯X2) sigue una distribución T-student (grados libertad, mean = parámetro estimado, sd = SE)

El error estandár (SE) de una distribución T-student para comparar medias se define como la raíz cuadrada de la suma de las desviaciones típicas muestrales corregidas de cada grupo al cuadrado, divididas por el tamaño de cada muestra.

SE=√ˆS21n1+ˆS22n2

El proceso a seguir para calcular intervalos de confianza o test de hipótesis es el mismo que el seguido en el modelo Normal. La única diferencia es que en lugar de emplear Z-scores (cuantiles de la distribución normal) se emplean los T-scores (cuantiles de la distribución t-student).

Intervalo de confianza

El intervalo de confianza de la diferencia de medias independientes para un nivel de confianza de 1−α tiene la siguiente estructura:

[(¯X1−¯X2)±tdf,1−α/2∗√ˆS21n1+ˆS22n2]

El valor t depende del porcentaje de seguridad del intervalo de confianza que se quiera obtener. Se define como el valor (cuantil) para el cual en una distribución de student, con unos determinados grados de libertad, un porcentaje igual al porcentaje de confianza del intervalo queda comprendido entre el valor -t y el valor +t buscado.

Supóngase que se busca el valor t para un intervalo de confianza del 95% en una distribución t-student con 15 grados de libertad:

El valor t puede encontrarse en tablas tabuladas o mediante programas informáticos, en R el valor t para un determinado intervalo de confianza y grados de libertad se puede obtener con la función qt(). t = qt(p = confianza del intervalo + (1-confianza intervalo)/2, df= , lower.tail = TRUE)

qt(p = 0.95 + 0.05/2, df = 15, lower.tail = TRUE)

## [1] 2.13145

Test de hipótesis

Los pasos a seguir para realizar un t-test de medias independientes son:

1. Establecer las hipótesis.
2. Calcular el estadístico (parámetro estimado) que se va a emplear.
3. Determinar el tipo de test, una o dos colas.
4. Determinar el nivel de significancia α.
5. Cálculo de p-value y comparación con el nivel de significancia establecido.
6. Cálculo del tamaño del efecto (opcional pero recomendado).
7. Conclusiones.
   
   

Ejemplos

sqrt((45.1^2 / 22) + (26.4^2 / 22))

## [1] 11.14159

pt(q = -2.24, df = 21) + (1 - pt(q = 2.24, df = 21))

## [1] 0.03603696

library(openintro)
library(tidyverse)
data(births)
head(births, 4)

smoker    <- births %>% filter(smoke == "smoker") %>% pull(weight)
nonsmoker <- births %>% filter(smoke == "nonsmoker") %>% pull(weight)

mean(nonsmoker) - mean(smoker)

## [1] 0.4005

ggplot(births,aes(x = weight)) + 
  geom_histogram(aes(y = ..density.., colour = smoke)) +
  facet_grid(.~ smoke) +
  theme_bw() + theme(legend.position = "none")

par(mar = c(2, 2, 2, 2))
par(mfrow = c(1, 2))
qqnorm(nonsmoker, xlab = "", ylab = "",
       main = "nonsmoker", col = "firebrick")
qqline(nonsmoker)
qqnorm(smoker, xlab = "", ylab = "",
       main = "smoker", col = "springgreen4")
qqline(smoker)

shapiro.test(smoker)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  smoker
## W = 0.89491, p-value = 0.0003276

shapiro.test(nonsmoker)   

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  nonsmoker
## W = 0.92374, p-value = 2.234e-05

ggplot(data = births) +
  geom_boxplot(aes(x = smoke, y = weight, colour = smoke)) +
  theme_bw() + theme(legend.position = "none")

require(car)
fligner.test(weight ~ smoke, data = births)

## 
##  Fligner-Killeen test of homogeneity of variances
## 
## data:  weight by smoke
## Fligner-Killeen:med chi-squared = 0.56858, df = 1, p-value = 0.4508

leveneTest(weight ~ smoke, data = births, center = "median")

t.test(
  x           = smoker,
  y           = nonsmoker,
  alternative = "two.sided",
  mu          = 0,
  var.equal   = TRUE,
  conf.level  = 0.95
)

## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  smoker and nonsmoker
## t = -1.5517, df = 148, p-value = 0.1229
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.9105531  0.1095531
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##    6.7790    7.1795

library(effsize)
cohen.d(formula = weight ~ smoke, data = births, paired = FALSE)

## 
## Cohen's d
## 
## d estimate: 0.2687581 (small)
## 95 percent confidence interval:
##       lower       upper 
## -0.07488708  0.61240332

Introducción

Dos medias son dependientes o pareadas cuando proceden de grupos o muestras dependientes, esto es, cuando existe una relación entre las observaciones de las muestras. Este escenario ocurre a menudo cuando los resultados se generan a partir de los mismos individuos bajo dos condiciones distintas. Por ejemplo, si se quiere comprobar el resultado de dos tipos de exámenes (lectura y escritura) sobre los alumnos de un colegio, es de esperar que alumnos que obtienen una alta calificación en un examen también lo hagan en el otro. Otro caso similar son los estudios médicos en los que se compara una característica pre-tratamiento y post-tratamiento sobre los mismos individuos.

Para poder determinar si los individuos (observaciones) han sufrido una diferencia significativa entre las condiciones X e Y, se calcula para cada uno de ellos el cambio en la magnitud estudiada di=xi−yi. A pesar de que no exista diferencia entre las dos condiciones (por ejemplo, que la presión sanguínea es igual antes y después del tratamiento), al calcular la diferencia entre el antes y después de cada individuo probablemente el valor no sea exactamente cero, ya que debido a la variabilidad se van a producir desviaciones por encima y por debajo de cero. Sin embargo, el promedio de todas las diferencias tenderá a cero (compensación de desviaciones). Es este promedio (μdiferencia) el que se estudia a través del estadístico muestral ¯d=∑ni=1(xantes−xdespués)n, determinando si el promedio de las diferencias observado en la muestra se aleja lo suficiente del valor nulo (cero, en caso de considerar que ambas medias son iguales) como para aceptar que el valor medio de ambos grupos no es el mismo.

Los test dependientes o pareados tienen la ventaja frente a los independientes de que se puede controlar mejor la variación no sistemática (la producida por variables no contempladas en el estudio) ya que se bloquean al estar examinado los mismos individuos dos veces, no dos grupos de individuos distintos.

Condiciones para un t-test de muestras dependientes

Normalidad: Solo es aplicable si se puede asumir que las dos poblaciones que se comparan se distribuyen de forma normal. La normalidad se tiene que cumplir en las poblaciones. Sin embargo, cuando no se dispone de información sobre las poblaciones, la única forma de estimar su distribución es a partir de las muestras.

Varianza: No es necesario que las variancias de ambos grupos sean iguales (homocedasticidad no necesaria).

Si las condiciones mencionadas se cumplen, se puede considerar que:

d∼N(μd,σ2d)

Como en la mayoría de casos en los que se aplica inferencia estadística se desconoce μ y σ, se emplean estimadores obtenidos a partir de las muestras:

¯d∼N(¯d,ˆS2d)

Hipótesis

H0: no hay diferencia entre las medias, el promedio de las diferencias es 0 (μd=0) o bien es un valor determinado (Δ).

Ha: sí hay diferencia entre las variables, (μd≠0) o bien la diferencia es distinta al valor establecido en la hipótesis nula (μd≠Δ).

El resto del proceso es el mismo que el seguido en un t-test para medias independientes:

Tcalculado=¯d−valorH0SE

Siendo el SE del promedio de las diferencias igual a la cuasidesviación típica muestral dividida entre la raíz cuadrada del número de pares de datos: ˆSd√n

Ejemplos

datos <- data.frame(
          corredor = c(1:10),
          antes = c(12.9, 13.5, 12.8, 15.6, 17.2, 19.2, 12.6, 15.3, 14.4, 11.3),
          despues = c(12.7, 13.6, 12.0, 15.2, 16.8, 20.0, 12.0, 15.9, 16.0, 11.1)
        )
head(datos, 4)

diferencia <- datos$antes - datos$despues
datos      <- cbind(datos, diferencia)
head(datos,4)

colMeans(datos[,-1])

##      antes    despues diferencia 
##      14.48      14.53      -0.05

par(mar = c(2, 2, 2, 2))
par(mfrow = c(1, 2))
qqnorm(datos$antes, xlab = "", ylab = "", main = "antes")
qqline(datos$antes)
qqnorm(datos$despues, xlab = "", ylab = "", main = "despues")
qqline(datos$despues)

shapiro.test(datos$antes)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  datos$antes
## W = 0.94444, p-value = 0.6033

shapiro.test(datos$despues)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  datos$despues
## W = 0.93638, p-value = 0.5135

pt(q = -0.2133085, df = 9) + (1 - pt(q = 0.2133085, df = 9))

## [1] 0.83584

t.test(x = datos$antes, y = datos$despues, alternative = "two.sided",
       mu = 0, paired = TRUE, conf.level = 0.95)

## 
##  Paired t-test
## 
## data:  datos$antes and datos$despues
## t = -0.21331, df = 9, p-value = 0.8358
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.5802549  0.4802549
## sample estimates:
## mean of the differences 
##                   -0.05

library(effsize)
cohen.d(d = datos$antes, f = datos$despues, paired = TRUE)

## 
## Cohen's d
## 
## d estimate: -0.0169815 (negligible)
## 95 percent confidence interval:
##      lower      upper 
## -0.1842481  0.1502851